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100第三次北模數學試題2011.12.20

  100第三次北模數學試題
題目可到賴老師高中數學教室觀看:  http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/main.htm 

這份題目出得不錯,有幾題不錯的學測類型題目和其他中規中矩的題目,好試題。


選擇題:

1.   向右平移一單位,即x變為(x-1),所以ax+by+c=0變為 a(x-1)+by+c=0,整理為  ax+by+c-a=0。基本題。

2.   要得α+γ,先求tan(α+γ),而α+γ=(α+β)-(β-γ),由和角公式得 tan(α+γ)= tan( (α+β)-(β-γ) )=( tan(α+β) - tan(β-γ ))/(1- tan(α+β)* tan(β-γ))=-1,所以  α+γ可能為135度。參考書的中規中矩題目。

3.   先求出2011是第幾個奇數,2011=2n-1,可得2011為第1006個奇數。再求第1006個奇數在哪一組,1+3+5+...+?<1006,利用等差級數公式,(2*1+(n-1)*2)n/2<1006,n^2<1006,n<31.....,所以在第32組。等差級數的題目,中規中矩的題目。

4.   利用切線和切點與圓心連線會垂直,並利用參數式表示直線L上的一點P(t+3,2t+3,t-1),而向量OP為(t+2,2t+1,t+2),利用向量OP和L的方向向量(1,2,1)垂直,所以 (t+2,2t+1,t+2) ‧(1,2,1)=0,可得到 t=-1,而P為(2,1,-2),因為P點在圓上,所以可代入方程式,得到k=11。還不錯的題目。


5.   因為要為5的倍數,所以個位數字一定要為0或5,因此共有5*6*6*2=360。簡單基本的排列組合題目。

6.   因為3^x > 2^x ,所以 x>0; 因為2^x > x^2,所以 0<x<2;因為 log_2(x) >log_3(x),所以 x>1,由這幾式可知 1<x<2。挺不錯的題目,我滿喜歡的。


7.   (1)方程式為實係數方程式,可利用 f ( 共軛(z) )=共軛( f(z) )。(2)因為有一根為0,可推知d=0,所以f(x)=ax^3+bx^2+cx=x( ax^2+bx+c),可知  ax^2+bx+c =0有兩虛根,因此判別式D=b^2-4ac<0,整理為 ac>(b^2)/4>0。(3)因為必有實根,所以與x軸必有交點。(4)考牛頓法的概念,每個老師教到這,一定講到濫了。若(2/3)是方程式的一根,則2整除a且3整除d,即為牛頓法,這樣才是正確,如題目反方向就不一定成立了。(5)有偶數個根,所以不一定。算是把多項是那邊的觀念都考過一便,還不錯。

8.   圓的圓心為(2-1),半徑r為2。因為正焦弦為圓的直徑,所以正焦弦長為4,而正焦弦4c=4,所以c=1。因為拋物線為左右開且a>0,所以為向右開的拋物線,因為正焦弦為過焦點且垂直對稱軸的弦,所以圓的圓心即為拋物線的焦點,又c=1,可推出頂點為(1,-1),因此此拋物線為 (y+1)^2=4(x-1)。很不錯的題目,我喜歡,有學測風。



9.   (1)加分和減分後會讓排名更動,所以中位數可能改變。(2)有可能是最高分或最低分被扣分或加分,就會改變全距了。(3)(4)平均數不會變,但會有兩個數據改變,則標準差有可能改變,如1,2,5,8,平均為4,當把8-2而1+2,則數據變為2,3,5,6,標準差就不同了。把統計的個名詞都大概都考過,還不錯的題目。

10.  因為線段BD為角平分線,所以AD:CD=4:6=2:3;因為CE為高,又三角形三邊都有給,可求出AE=5/8和BE=27/8,所以AE:BE=5:27。因為兩邊的比例都知道了,將向量AP=x向量AB+y向量AC 此式子利用三點共線兩次,即可解出x和y。還不錯的題目。

11.  利用平面的法向量可推出(1)和(2)。因為E_1和E_2平行,可知即為柱體的底面和頂面,而另三邊為三角柱的三側邊。(3)因為E_3和E_4垂直,所以底面為直角三角形。(4)三角柱的高為 E_1和E_2 的距離為3*根號3。(5)需要求出底面三角形的面積,可先找出E_3和E_5的交線上任一點,則A和C點距離即找出來的點到E_4之距,同理,找出E_4和E_5的交線上任一點,則B和C點距離即找出來的點到E_3之距,找出AC和BC,又三角形ABC為直角三角形,所以可得到三角形ABC的面積,因此可得三角柱面積為底面積*高=12。不錯的題目,不過第五項比較麻煩,不知有沒有更快的方法,歡迎大家提出一起討論。


12.  信賴區間的題目。(1)36/64=0.5625。(2)由公式可知誤差範圍為  正負2*根號( (0.5625*0.4375)/64 )=正負 0.1240,因此區間為[0.5625-0.1240 , 0.5625+0.1240]。(3)一月份有31天,由(2)知道區間為[0.4385,0.6865],又31*0.4385=13.5935,31*0.6865=21.2815,可知落在13~22天。(4)天數增加兩倍,即取樣數量改變,所以調查的機率就有可能改變了。(5)選取天數增加兩倍,即讓公式 2*根號( p(1-p)/n ) 中的n變為兩倍,所以誤差範圍會縮小,因此區間就縮小。

13.  這題目挺不錯的,有學測風。可將題意想成從四點任一點出發,每個點都要跳過一遍,但不能重覆,之後再回到出發點。從哪一點出發最後全部可能的結果都一樣,我們可以單討論一點即可。共有1*3*2*1=6種走法: 12341,14321,13421,12431,14231,13241。(1)代入即可。(2)最小值為6,有  12341,14321,13421,12431這四種走法。(3)最大值為8,有14231和13241兩種作法。(4)4/6=2/3。(5)6*(2/3)+8*(1/3)=20/3。




填充題:


A.  求出鳶形OA_1B_1A_2的面積去除扇形OA_1A_2的面積,即可求出陰影部份。因為OA_1=OA_2=2且角A_1OA_2=60度,所以三角形OA_1A_2為正三角形,可知線段A_1A_2=2,又線段OB_1即為大圓的半徑為3,因此 鳶形OA_1B_1A_2的面積為3,而 扇形OA_1A_2的面積為2*2*π*(1/6),所以陰影部份為 6*(3- (2/3 *π) ) 。滿有趣的題目。

B.  利用向量分解和餘弦定理。向量AB‧向量CD= 向量AB‧(向量CA+向量AD)= 向量AB‧向量CA + 向量AB‧向量AD= -(25+49-36)/2 + (25+16-25)/2 = -11。這題很不錯,有學測風,很多學生對於向量的分解都比較弱,好題目。

C.  要求三角形OAB的面積,因為OA和OB長度已知,所以只要知道sin角AOB即可。利用 向量OA+向量OB+向量OC=0,向量OA+向量OB= - 向量OC,(向量OA+向量OB)‧(向量OA+向量OB)=(向量OC)‧(向量OC),可得到cos角AOB,再利用平方關係,即可得到 sin角AOB,因此 三角形OAB的面積亦可得。參考書可見的題型。

D.   最大值的P和Q為取兩圓心連線和兩圓的交點,而向量PQ在x軸上的正射影a為P和Q的x座摽差,而在y軸上的正射影a為P和Q的y座摽差。滿有趣的題目。


E.  最上層球的最高點到桌面的距離為三段組成,最上層球的半徑,加中間正四面體的高,再加下層球的半徑,中間正四面體的邊長為兩球心的連線,即兩倍半徑為6,所以此高為 6*(根號6)/3。因此最上層球的最高點到桌面的距離為 3+(2*根號6)+3=6+2*根號6。中規中矩的題目。

F.  因為為橢圓右半部與y軸圍成的區域內,所以圓的半徑範圍落在 0大於等於r且r 小於等於2.5。隨著圓越來越大,和橢圓切到兩點時即為所求的圓,再繼續增大會相交四個點,當半徑為5/2時,此圓和橢圓相交三點。因此可將我們要求的圓方程式 (x-r)^2+y^2=r^2和橢圓方程式 (x^2)/25+(y^2)/9=1聯立,將前式的y^2=r^2 - (x-r)^2 代入橢圓方程式  (x^2)/25+(y^2)/9=1 ,因為我們要求的是與圓剛好切兩點,而此兩點的x座標相同,所以得到的x的一元二次方程式會為兩相等重根,9* (x^2)+25*( r^2 - (x-r)^2 ) =9*25,16 (x^2)-50*r*x+225=0,其判別式D=2500*(r^2)-64*225=0,因為r>0,所以 r=12/5 。很不錯的題目,我很喜歡,有學測風。




G.  差1號共有8組(12,23,34,...,89), 差2號共有7組(13,24,35,...,79) ,以此類推可知期望值為 1*100*(8 / C(9,2) )+2*100* (7 / C(9,2) )+ 3*100* (6 / C(9,2) ) +...+ 8*100* (1 / C(9,2) ) = 1000/3。不錯的期望值題目,中規中矩的。 

基本應拿的: 1,2,5,7,12,A,C,G

細心認真可拿: 3,4,6,9,10,B,E

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