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100第一次台中一中模擬考數學試題

 
100第一次台中一中模擬考數學試題

這份模擬考題是從網路賴老師高中數學教室取得http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/index.htm
這份考題比較像以前的模擬考,比較難,跟今年北模、中模或全國比起來都難很多,我還沒看台中女中的題目,最近忙翻了,再找時間來看看!不然以今年考到目前的模擬考,大概這份最難寫...建議先練習其他的,有時間或有興趣再來練習!

選擇題:

1.   基本題,對數比大小的題目,知 0<log以拍為底3的對數<1,再利用對數性質即可得解

2.   考i的四個一循環性質和等差數列與級數的性質。先利用等差數列,因為1+2+3+...+10=55,得到第11區的第一個是i^56,所以第11區為i^56,i^57,...i^66,這11個乘起來就看指數多少,56+57+...+66=671,可知為i^671=i^3=-i,還不錯的等差題目。

3.   複數的題目用畫圖去想會比較容易,在複數座標平面上,a-2i表(a,-2)點,即為在y=-2上的某點,而去除以1+2i,利用旋轉的想法,因為1和2都是正數,所以不用化為極式就可知ㄧ定是旋轉0到90度之間的角,而在y=-2上的任何點,經過旋轉後不可能到第一象限。對於複數讓學生還沒了解題目,就能看砍一半學生的血的殺傷力,這題雖然也不然,但可能還是不少學生會放棄掉!

4.    第一眼看起來似乎很複雜,可能會嚇到一些學生跳過這題,照題目所敘去列出來,就可知道其規律。已知99項的蔡查羅和為99a1+98a2+...+a99=99*1000,所以所問的100*1+99*a1+98a2+...+a99=100+99000=99100,因此為99100/100=991,不錯的題目,和上一題一樣都是數列級數的題目。

5.   把圖大概畫出,直接看圖可能有點難判斷,直接取A,B,C,D座標出來算直線的方程式,可算出直線AB的方程式為y=(1/2)x,直線CD的方程式為y=(1/2)(log2)x,用看的就知都過原點,即兩直線交點在原點。

6.   主要為勘根定理、虛根成對性質,會讓學生感到有點複雜,所以會讓學生感到難。有實根介於0與-2之間,可利用勘根定理得到0<a<(52/17),又f(x)為整係數,所以a為整數,因此a可能為1,2,3,其又要求f(x)=0有另一根a-i*根號a,所以將a一一代入檢查,可利用虛根成對知道有另一根為 a+i*根號a,如檢查a=1時,可知有根為1-i和1+i,則此兩根所成的二次因式為x^2-2x+2,利用此因式去除f(x),不能整除表不合,經檢查後可知a=2時才合,可順勢整理出f(x)=(x^2-4x+6)(3x+5),則(1)(3)(4)均得到!(2)利用餘式定理代x=1進去檢查,(5)比較難點,因為原本f(x)=0的根為2+根號2*i,2-根號2*i,-(5/3),則f(x^2)=0的根為x^2=2+根號2*i,x^2=2-根號2*i,x^2=-(5/3),可知出來的六個根都不可能為實數根,要為實數根除非x^2=b(其中b為非負實數)。

7.   這題難度就比較高了,(1)(2)基本都比較沒問題;(3)需要點同餘的概念會比較好做,令log以2為底x的對數=log以5為底y的對數=t,則還原回指數為 x=2^t 和 y=5^t,則x+y=2^t+5^t ≡ (-1)^t+(-1)^t (mod 3),則可知x+y被3除之的餘數可能會1或2,不可能整除,所以不可能為3的倍數!(4)和(3)一樣回歸指數定義, x=2^t 和 y=5^t,則可知比較 x^2 和 y,即比較 4^t 和 5^t ,畫出 s=4^t 和 s=5^t  的函數圖形 ,可知在t<0時,y<x^2 ,而 t>0時,y>x^2,所以y>x^2不是恆成立。(5)取幾個點圖可大概判斷出,(1,1),(2,5),(4,25)... 可知離y=x最近的時候就只有(1,1)的時候,所以就一個交點,接著就沒有了,而x和y又是都大於0所以就只有一個交點。這圖形大概如下圖。


8.   這題算中規中矩的題型,考牛頓法。因為a為質數,所以f(x)=0為整係數方程式,可利用牛頓法先來找出可能的整數根有1,-1,5,-5,再一一代入檢查看a是否為質數,可算出x=1時,a=5和x=-5時,a=19,此兩組合而已,所以(1)(2)(3)(4),都可解。(5)均為實根。

9.   這題有點亂,把一堆觀念硬是塞在一起,一開始看數列,怎麼跟座標點放在一起,是在問什麼?還有三點共線,暈了快半分鐘才看懂他在問什麼,我實在不喜歡這種為考而設計的題目。(1)(2)因為三點共線,可知直線MAn和直線MBn斜率相同,可推出an=2*n,所以<an>為等差數列。(3)前面知道an=2*n,所以Sn=n(n+1),因此Sn-n=n^2為完全平方數。(4)這選項比較難,令x=(n-1)/n,y=2/n,消去n,即可得到方程式。(5)利用(4),求原點O到直線的垂直距離。

10.  先將y=││x-4│-2│慢慢討論慢慢畫出,(1)將y=log以2為底x的對數畫出,可知此三根部可能為等差數列,若為等差數列,則三根應該距離一樣。(2)(3)(4)(5),就是根據圖去判斷,(4)這選想應該在(1)選項有找到(4,2)這點,所以知道要三根就是需要過此點。這題在畫出y=││x-4│-2│就很有難度,還要判斷與
y=log以a為底x的對數的相交狀況,這題要考,就只指考數甲才有可能出,學測不可能。


11.  有點像在考智力測驗,找誰是兇手。只有兩個是錯的,這是一個判斷依據。假設x=2的是對的,則檢查x=8的對不對,這樣依序去檢查判斷,如果2或3錯則會錯不只兩個,所以2和3都對,也藉此判斷出1.5錯了;又發現2.8和0.021出問題,可判斷出7出問題。這題目不予置評。

填充題:

A.   這題和100中港高中第三次模擬考的填充C有點接近,一開始一樣做法,後來才不太一樣,把a^2+3a-12化為(a+2)-14/(a+1),因為長寬都為整數,所以面積一定也為整數,因此(a+1)│14,可推知a+1可能為1,2,7,14,a可能0,1,6,13,又a為正整數,所以可能為1,6,13,一個個帶進去檢查看面積是否為正整數,可知a=6,即可知長寬分別為7,6,所以周長為26。這題我還滿喜歡的,好題目!

B.   看起來很複雜,雖然不難,但算起來真有點小雜。由餘式定理可知f(1)=g(1)=0,f(3/2)=m,設g(3/2)=t,由除法原理知 f(x)g(x)=(x-3/2)(x-1)Q(x)+mx+n,以x=1和x=3/2代入得到n=-m和m*t=(3/2)*m+n,將第一式代入第二式,得到t=1/2。

C.   看起來不簡單,但其實就是絕對值一一討論論拆開,y值範圍落在3和9之間,拆絕對值狀況都一樣,
|y-3|=y-3,|y-9|=9-y;而x值比較麻煩,就要分小於1,大於等於1且小於等於6,和大於六的三個狀況討論,當x小於1時,可整理出直線y=8.5,長度為1;當x大於等於1且小於等於6時,可整理出直線x+y=9.5,長度為(1,8.5)到(6,3.5)兩點的距離,即5*根號2;當x大於6時,可整理出直線y=3.5,長度為4,因此可得總長為1+(5*根號2)+4。

D.   連續兩次的反射,偏難的題目。可用畫圖的,利用對稱點來思考,要走的三段距離就是藍色部份,可發現,走紅色是最好的路徑。



E.   一樣看起來不簡單,但是慢慢推會覺得還好。由3a4=7a7,化為首項和公差的形式,可得4a1+33d=0,可順便知道d<0。將4a1+33d=0代入Sn=(2a1+(n-1)d)n/2=(d/2)(n^2-(35/2)*n)的一元二次方程式,利用配方法求極值,可整理為Sn=(d/2)(n-(35/4))^2-(1225/32),因為d<0,所以有極大值,越靠近頂點值越大,即n越近(35/4)越大,可知取n=9。

F.   這題也不是那麼容易,可從根與係數關係下手。因為10個根組成一個首項為1的等比數列,可知10個根為1,r,r^2,r^3,...,r^9,由根與係數關係知道實根之積為(1/512)^5,可推得r=(1/2)。要求m1+m2+...+m5,我們利用方程式的x項,因為展開來x項係數為(m1+m2+...+m5)/(512^5),由根與係數關係之,x項為十個根各任取九個根相乘再乘以(-1)組成,即 - (1*(1/r)*(1/r)^2*...*(1/r)^8 + 1*(1/r)*(1/r)^2*...*(1/r)^7*(1/r)^9 + 1*(1/r)*(1/r)^2*...*(1/r)^6*(1/r)^8*(1/r)^9  +...+(1/r)*(1/r)^2*...*(1/r)^8*(1/r)^9 )= -1023 / (512^5),則可知 (m1+m2+...+m5)/(512^5) =  -1023 / (512^5) ,所以 m1+m2+...+m5=-1023

G.   這題與前幾題比起來就簡單多了,對"圖形與x,y軸都只有一個交點"了解可判斷出圖形就沒問題了!因為a>0,b<0,又圖形與x,y軸都只有一個交點,可知圖形開口向上且會和x軸相切,如下圖。與y軸的焦點座標為(0,c),和x軸焦點為(-b/(2*a),0)。因為函數與x軸相切,所以b^2-4ac=0,又b=-2ac將之代入,可得到b=-2或0(不合);因為線段AB長為2,所以可得到(b^2)/(4*a^2) + c^2 =4,將b=2與ac=1代入,得到a=1/根號2,c=根號2。還不錯的題目。



H.   看起來有些複雜,算了會覺得出乎意料的簡單,主要考指數與對數的定義互換。因為f(log以2為底a的對數)=b,可整理為(log以2為底a的對數)^2-(log以2為底a的對數)+b=b,可得到a=1(不合)或2,因此a=2。因為log以2為底f(a)的對數為2,還原回指數可得f(a)=4,則 a^2-a+b=4,將a=2代入得到b=2,則可得到f(a+b),如果對對數與指數定義間的互換熟悉,會覺得這題很容易,這種指對數定義互換是學測的重點,要去熟悉。很不錯的題目。

I.     不錯的題目,我還滿喜歡的。考對數和恆正恆負的性質。因為f(-1)=-2,所以 -2=1 - 2 - (log以10為底a的對數) + log以10為底b的對數 ,可能整理出 a=10*b ;又 f(x)大於等於2x恆成立,即對所有實數,x^2 + (log以10為底a的對數)x+log以10為底b的對數大於等於0,可知判別式小於0,即 (log以10為底a的對數)^ - 4* (log以10為底b的對數)<0 ,將a=10*b代入,可得((log以10為底a的對數)-2)^2小於等於0,因此(log以10為底a的對數)=2,即a=100,因此b=10。


基本應該會的: 1,2,6,A,B,H,I

認真細心可得:  3,5,8,G




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