追蹤
找歷屆試題請善用右手邊的「招生考古題書籤」
關於部落格
看錄取分數請善用右手邊的「文章分類」去找「錄取分數」
  • 92693

    累積人氣

  • 0

    今日人氣

    1

    追蹤人氣

100第一次台中女中模擬考數學試題

 100第一次台中女中模擬考數學試題

試題取自賴老師高中數學教室http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/index.htm

這份試題我還滿喜歡的,有幾題兩三個觀念混在一起,但是不會牽強亂扯進來,設計得還不錯,拿來練習還不錯~~~最近活動很多,哈~~~脫稿嚴重(理由真多@@...),其實這份拖這麼久,是因為連全國第一次和第二次模擬考,三份一起看,但全國那兩份的題目都太參考書的題型了,覺得滿無聊的,沒什麼代表性,所以就不打了,等再出新的模擬考題我再解吧!是有打算解一下99的,呵呵~~~再看看囉!~~~

選擇題:

1.   考三條直線怎樣不能交出三角形,以這題已確定係數的兩直線,由斜率來看或由法向量來看,都知不平行,所以不交出三角形有兩種狀況:三線相交一點和兩平行(也可能重合)一不平行,分別去討論出k=3/2和-15時,兩平行一不平行;k=-4時,為三直線相交一點。基本題。

2.   無窮數列與級數的題目。(1)將級數的第n項整理為2/(n*(n+1)),可將原題整理為(1-(1/(n+1))取極限,所以極限存在。(3)(4)無窮等比級數要收斂,則-1<公比<1才能。(5)第一項出問題。

3.   P為兩位數,所以可設P=10a+b,其中a大於0且小於10,b大於等於0且小於10。P減去其數字互換後的數: 10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b) 為完全平方數,可知a-b必亦為完全平方數(否則9(a-b)不為完全平方數),而a-b可能為0,1,4,9,當a-b=0時,P=11,22,33...,99共9組;當a-b=1時,P=10,21,32,43,...,98共9組;當a-b=4時,P=40,51,62,73,84,95共6組;當a-b=9時,P=90,共1組。共25組。懂得將P假設為10a+b,照著題目慢慢去做就可以解決,這題放在國中其實也可以,所以算滿基本的,只是要細心點不要漏算。

4.   這兩個不等式都是一般參考書都會出現的題型,第一個不等式,令t=2^x+2^(-x),去解不等式,注意真數大於0的限制可知x無解;第二個不等式,利用對數性質合併,去解不等式,注意真數大於0的限制,可知x無解。

5.   取對數,利用首數尾數來估值,因為這些數滿接近的,只判斷位數無法決定大小,還需判斷最高位數字。細心點算,可拿到分數,參考書題型。(1)2^102取對數值為30.702,估計為5*10^30,3^64取對數值為30.5344,估計為3*10^30,所以2^102+3^64估計為8*10^30。(2)估計為1*10^30。(3)取對數值為30.868,估計為7*10^30。(4)取對數為29.1885,估計值為1*10^29。(5)1+10+...+10^30=(10^31-1)/9大概為1.1*10^30。所以可知(1)最大。

6.   由f(3+2x)=f(3-2x)知道對稱軸為x=3,又f(5)>0,f(6)<0,可大概畫出如下圖形。(5)選項比較特別點,個人當下只想到兩種方法,一個是利用頂點的x座標為3,得到-b/(2*a)=3,所以b=-6a,則2a+b=-4a>0;另一個是利用微積分,一次微分為切線斜率,f ' (x)=2ax+b,而f ' (1)=2a+b,可知函數在x=1處的切線斜率為2a+b,由圖可知在x=1處的切線斜率為正,因此2a+b>0。這種題目,模擬考滿喜歡出的,要會判斷出對稱軸在哪,根據給的條件,大概畫出圖形去判斷各選項。

7.   這題就是考圖形的對稱概念,當不知道怎麼下手,可以任取m來畫,一樣可以把答案判斷出。我是還滿喜歡這種圖形題,畢竟學生對圖形都比較弱,也容易忽略。我是取m=(1/2)來推這五個答案。
(1)

(2)



(3)


(4)


(5)





8.   考複數的一些基本性質。(1)虛數才不能比。(2)純虛數,即實部為0,虛部不為0。(3)複數加絕對值表此複數在座標平面上與原點的距離,距離是非負的,所以可知兩複數距離原點都為0,因此可知兩個複數都為0。(4)如果在實數,則此選項是正確的,但是在複數就不一定了!因為虛數的i,平方後為-1;這題一開始就往反例方向想,當然往虛數方向下手,第一個括號中為1,第二個括號中為i,如此就能製造出兩者平方相佳為0的狀況,取z1=1+i,z2=i,z3=0,即為反例。(5)設z1=a+bi,即可得知,基本題。這題對於複數有恐懼的學生來說是較能接受的基本題型。

9.   <an>為等比數列,a3=a1*r^2=9,又1<a1<3,所以3<r^2<9,因此根號3<r<3或-3<r<負根號3。(2)(3)因為對數不能為負的,所以基本上不能把真數(an)^2的2隨便移到前面去,但對於求<bn>而言,不管<an>的公比為正或負都不影響,因此我們取<an>公比r诶正的來討溣<bn>。可推知b1=2*log以3為底a1的對數,b2=2*log以3為底a1*r的對數=2*log以3為底a1的對數+2*log以3為底r的對數,b3=2*log以3為底a1*r^2的對數=2*log以3為底a1的對數+2*log以3為底r^2的對數=2*log以3為底a1的對數+4*log以3為底r的對數,可知<bn>為等差數列,公差為2*log以3為底r^2的對數。(4)b2+b4=(2*log以3為底a1的對數+2*log以3為底r的對數)+(2*log以3為底a1的對數+6*log以3為底r的對數)=4*log以3為底a1的對數+8*log以3為底r的對數=4(log以3為底a1的對數+2*log以3為底r的對數)=4*log以3為底a1*r^2的對數=4*log以3為底a3的對數=4*log以3為底9的對數=8。(5)b1=2*log以3為底a1的對數,又1<a1<3,所以0<b1=2*log以3為底a1的對數<2。這題挺不錯的,我滿喜歡的,有學測風。

10.  考實係數方程式會虛根成對和勘根定理的概念。(1)需為實係數方程式才能保證虛根成對。(2)(3)因為為實係數方程式,所以馬上知道f(x)=0有兩根3i-1和-3i-1,又跟與係數關係知三根之和為-5,所以第三個跟為-3,因此n=-30。而f(x)=-(x^2+2x+10)(x+3)>0,可知x<-3,這題會讓很多學生沒注意到負號,就很高興的跳進陷阱裏選了這個選項,有點像在考學生眼力,不過還不錯的設計,不是濫梗。(4)虛根成對,又3次多項式方程式會有三個複數根,所以必有實根。(5)f(x)=-x^3-5x^2+10,因為f(0)=10>0,f(-1)=6>0,可知f(0)f(-1)>0,則在0和-1之間有偶數個根。

 填充題:

A.   牛頓法的基本題。因為其有共同的整數根,即共同因式,可藉著牛頓法找到。由牛頓法知f(x)=0可能的有理根有±1,±2,±(1/2),g(x)=0可能的有理根有±1,±3,±(1/2),±(3/2),而共同的根為正整數,所以k可能為1或2,將1和2代回f(x)=0和g(x)=0解出a和b,可發現當k=2時,a和b不為整數,不合!所以k=1,a=-13,b=3。

B.   雖然小麻煩,但算為因倍數中參考書常出現的題型。不論是給最小公倍數的條件或最大公因數的條件都是要從最大公因數下手,此題給最小公倍數,所以最大公因數要自己假設,可假設(a,b)=d,則可設a=d*h,b=d*k,其中(h,k)=1且k>h,代入題目給的兩個條件式,可得d*(k-3*h)=15和d*h*k=90,兩式相除再交叉相乘,可得到h和k'的方程式,要利用整數性質,並注意k>h>0的條件,去解h和k,即可得a和b。

C.    這題我尬意的。數列的題目,有些過於複雜,但滿有學測風的。雖然算後面數列和取300已經是盡量簡化了,但需要用到的步驟和觀念還是略嫌過多些。藉著Sn得到<an>,a1=S1=p+4;a2=S2-S1=2*p;a3=S3-S2=4*p,利用題目給的條件得到b1=a1=p+4;b2=2*a2=4*p;b3=(-4)*a3=(-16)*p,因為<bn>為等比,所以可知(b2)^2=b1*b3,即(4*p)^2=(p+4)*(-16*p),可整理得p=-2,並得知<bn>公比為-4,b1=2,利用等比級數公式可得q=5。

D.   這題我滿喜歡的。複數絕對值的性質與解不等式題型。求出|z1|和|z2|,利用|z1|>|z2|,兩邊平方,可整理為(2*t-1)*x^2+t^2-4>0,因式對任一個實數皆成立,即恆正,因此二次項係數需為正的且判別式小於0,就這兩個條件的不等式取交集,即可得到最後的答案範圍。這題目還不錯,但需要的觀念和步驟不少,所以學生不是那麼好拿分。

E.   這題算參考書常會出現的題型。除法原理和餘式定理的題目。由條件"以x^2-6x+10除f(X)的餘式為ax+b,可列出 f(x)=(x^2-6x+10)Q(x)+ax+b ,將f(3+i)=3-i代入,再利用"設a,b為實數,若s+ti=0,s=t=0",可得到a=-1和b=6,即以x^2-6x+10除f(X)的餘式為-x+6。題目問說f(x)除以(x-1)(x^2-6x+10)的餘式,利用除法原理並將餘式作點變化,可得 f(x)=(x-1)(x^2-6x+10)Q'(x)+c(x^2-6x+10)-x+6,將f(1)=15的條件代入可得c=2,即可得解。

F.   這題目偏難,有些學生不知怎麼下手,就算下手也可能會算到很複雜。利用根與係數關係來簡化計算。A.B為兩交點,設A(x1,y1)和B(x2,y2),所以試著求交點,-(1/5)x^2=mx-2此一元二次方程式的兩個x解即為x1和x2,由根與係數關係可知x1*x2=-10,x1+x2=-5*m,而y1=m*x1-2,y2=m*x2-2。由條件直線OA的斜率與直線OB的斜率和為 -1,即 (y1/x1)+(y2/x2)= -1 (*)  ==>  (x2*y1+x1*y2)/(x1*x2)=-1 ==> 將y1=m*x1-2,y2=m*x2-2代入換掉y1和y2,再利用x1*x2=-10,x1+x2=-5*m 可將(*)式代換為m的式子,得 m=-1。

G.   這題滿有難度的。如果會畫圖,可知第一個根為y=-以3為底x的對數與y-ax+b的交點,而第二個和第三個根則為y=以3為底x的對數與y-ax+b的交點。因為三根成等比,且公比為3,可設此三根為a1,3*a1,9*a1,將根代入方程式得三個式子,-以3為底a1的對數=a*a1+b以3為底3*a1的對數=3*a*a1+b以3為底9*a1的對數=9*a*a1+b,可整理為-以3為底a1的對數=a*a1+b1+以3為底a1的對數=3*a*a1+b,2+以3為底a1的對數=9*a*a1+b,三式解聯立,將第一式代入第二和第三式得到,1-a*a1-b=3*a*a1+b,2-a*a1-b=9*a*a1+b,可得1=4*a*a1+2b   (**),2=10*a*a1+2b,解得a*a1=(1/6),代回(**),得到b=(1/6)。個人覺得是不錯的題目,但有些過難。



 

H.   這題是求極值的題目求極值不失配方法、算幾、柯西、三角形疊合或微分等,不同狀況用不同方法。假設邊長,去算出要求的面積,在看用何法求極限。設直線DM為x,則直線CM為25-x,利用相似形性質得直線CN=9*(25-x)/x,假設完可得兩三角形面積和為9*x/2+(25-x)*9(25-x)/(2*x)=(9/2)(x+((25-x)^2)/x)=(9/2)(2x-50+625/x),因為2x和625/x都為正的,可以利用算幾不等式,則面積和(9/2)(2x+625/x-50)大於等於(9/2)(2*根號(2*x*(625/x)) -50)=(9/2)(50*(根號2)-50)=225(根號2-1)。

I.   這題如果看得懂文字敘述,其實是滿簡單的對數應用題。不過這題應該有對數表輔助一下,個人恍神竟然用內插法去求(以10為底,多少的對數)為0.1549 ,磨了一些時間,想說怎麼答案一直算15!!!唉~~~假日還是要出去玩頭腦會比較清醒~~~ 設最多x人,則可列出不等式 90>10*(以10為底,x*7*10^(-5)/10^(-12)的對數) => 9>(以10為底,7*x*10^7的對數)=(以10為底,7的對數)+(以10為底,x的對數)+(以10為底,10^7的對數)=7.8451+(以10為底,x的對數),可將9>7.8451+(以10為底,x的對數) 整理為1.1549 >(以10為底,x的對數) , 解得x<14點多,可知x=14。

J.   無窮等比級數的題目,這種題目就是慢慢的找出規律,得到公比和首項,即可得解。可發現隨著n的變化,An的x座標變化為0,1,1+(1/2),1+(1/2)-(1/4),1+(1/2)-(1/4)-(1/8),1+(1/2)-(1/4)-(1/8)+(1/16),1+(1/2)-(1/4)-(1/8)+(1/16)+(1/32),1+(1/2)-(1/4)-(1/8)+(1/16)+(1/32)-(1/64),1+(1/2)-(1/4)-(1/8)+(1/16)+(1/32)-(1/64)-(1/132),...當n趨近於無窮時,可整理出An的x座標為(1+1/2+1/16+1/32+1/256+1/512+...)-(1/4+1/8+1/64+1/128+1/1024+1/2048+...)=(1+1/16+1/256+...)+
(1/2+1/32+1/512+...)-(1/4+1/64+1/1024+...)-(1/8+1/128+1/2048+...)
=8/5-2/5=6/5。挺不錯的無窮等比級數題目,雖然要花點時間細心觀察。


基本應該會的題目: 1,2,4,8,10,A,B,E,I

認真細心會的:  3,5,6,9,C,D,J
相簿設定
標籤設定
相簿狀態