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100第四次全國公私立模擬試題2011.12.16

 
100第四次全國公私立模擬試題
題目可到賴老師高中數學教室看  http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/main.htm 

這份是全國公私立的,好像是在2011.12.16考的,趕快打一打,今天學生又剛考完詮達,接著又有北模,不能偷懶了哈哈~~~
這份考題挺親民的,沒有太偏的題目,有不少基本題,很不錯的題目~~~


選擇題:

1.   將 dn/(b+cn) 上下同除以n,得 d/((b/n)+c) 可看出數列 <a_n>隨著n改變,只會改變 (b/n),而n越大,則 (b/n)越小,所以數列 <a_n>越大。兩個在便比較難判斷,整理為一個就很明顯了,但這步沒走到可能就會卡住。

2.  將b化為 以10為底,(10)^b的對數,再跟以10為底,n的對數合併,得到兩相等的對數式,可得m=((10)^b)/n。指對數定義和性質熟悉即可的基本題。

3.   如圖,過P點作三角形ABC三邊的高PE.PF.和PG,因為側面和底面的夾角都相等,則三角形DPE.DPF.DPG相似,又有共同邊DP,所以三個三角形全等,可知PD.PE和PG三線段均等長,可知P點為三角形ABC的內切圓半徑,即P為內心。很不錯的題目,我喜歡。

4.   色球可以重覆選取,且取後還要排,可知為重覆排列,從三種色球中選取五次並要考慮順序,為3^5。基本題。

5.   因為p,q,a,b,c,d,e成等差,可令q=p+d,a=p+2d,...,則可整理發現f(q)-f(p), f(a)-f(q),f(b)-f(a),f(c)-f(b),f(d)-f(c),f(e)-f(d), 亦成等差,但將給的值代入檢查:f(q)-f(p), f(a)-f(q),f(b)-f(a),f(c)-f(b),f(d)-f(c),f(e)-f(d), 分別為125,127,131,129,133,135,可發現131和129出問題,所以是f(b)出問題,因此B不在拋物線上。這題比較麻煩,應該有不少學生都直接跟他用猜的了。這題我不太懂他是要考什麼,有點過於繁瑣些,可能有我沒想到的點吧???

6.   因為x小於等於pi且大於等於0,所以sinx小於等於1且大於等於0,cosx小於等於1且大於等於-1,因此對f(x)=sin(cosx)而言,即在-57.3度到57.3度之間取sin值的最大和最小值,可知Mf=sin57.3度,mf=-sin57.3; 對g(x)=cos(sinx)而言,即在0度到57.3度之間取cos值的最大和最小值,可知Mg=cos0度,mg=cos57.3。基本的三角函數題型,要知道度數和弧度的差別,和三角函數代角度進去得出來的是值,所以再把值代進去要當作弧度。

7.   看起來很複雜,只要了解題目是要問說把原本的點(a,b)變為(-b,a),則可知圖形變為何種面貌,不錯的題目。可將題目給的三點代入檢查及知這三點怎麼變,即整個圖形變化,(1,0)->(0,1),(3,0)->(0,3)和(2,根號3)->(-根號3,2)。這堤挺不錯的,很簡單,只要肯試試看,不會看到複數平面且圖形轉換就放棄的,就有很大的機會做出來。

8.   <a_n>這數列比較簡單,第一圈有1個六邊形,第二圈有6個,第三圈有12,...第n圈有6n-6個(n大於1),因此(1)和(3)就可得到,但這題求(1)和(3)部用找一般式,用數的最快,且題目已經說第1,2,3圈各有幾個了。 <b_n>這數列比較麻煩,可能我用了笨方法,所以找一般是要花一點時間,歡迎各位高手一起討論。第一圈有6根,第二圈有6*1+6*3=24,第三圈和第四圈,如圖,第三圈...紫色圈圈圍起來的六邊形(每個轉角)各有三根紅色的,為3*6,藍色和綠色線段的個數則看每邊夾了幾個六邊形,綠色為2*(n-2)*6,藍色為(n-1)*6,共有3*6+2*(n-2)*6+(n-1)*6=18n-12,此n大於等於3 的一般式,第四圈為18*4-12=60,第五圈為18*5-12=78,即可得知<b_n>數列。<b_n>數列有點麻煩。

 

9.   這題答案和給的答案有出入,有點怪,個人是算(1)(2)(3)(5)。讀者再算算看,歡迎提出意見!感謝。(1)開口朝下,a<0。(2)配方法就可以得知,或有被公式也可知。(3)利用公式解可得知A點和B點。(4)應該OA*OB=-c/a。(5)面積為 │(1/2)*AB*c │= │(1/2)*(根號D/a)*c  │= (-c*根號D)/2a (因為a為負的,所以拆絕對值要加負號)。

10.  (1)(2)(3)用看的就看得出來,(4)(5)沒把握的話,就把這正立方體座標化,利用向量垂直內積會為0,判斷是否垂直。基本空間向量題目。

11.  這題我滿喜歡的。因為三平面將球分成體積和形狀都相等的八等分,可知此三平面兩兩垂直,且三平面的交集為球心。因為E1,E2垂直,所以法向量也垂直,應該兩法向量內積為0,即(1,2,-3)‧(4,1,c)=0,得到c=2;因為E1,E3垂直,所以得(1,2,-3)‧(1,d,e)=0,因為E2,E3垂直,所以得(4,1,2)‧(1,d,e)=0,將此兩式聯立得到d=-2,e=-1。而球心在E1,E2,E3上,由球方程式知道球心為(a,b,1),球心在平面上所以代進去會合方程式,將(a,b,1)代入x+2y-3z=0和4x+y+2z=7,聯立即可得到a=b=1,可知球心為(1,1,1),將球心代入E3,即可得到f=-2。

12.  (1)我們有95%的信心說,真正的收看率會落在50%到58%之間。五成以上應該不止95%。(2)只能說有 95%  的信心說,真正的收看率會落在這各區間內,但不一定絕對會落在此區間。(3)應該是真實的收看率會落在那區間,而不是民調得到的收視率。(4)由甲區間可知收看率為54%正負4%,乙為28%正負4%,所以此次民調在甲地有54%的收看率,乙地有28%的收看率。(5)參訪人數可利用公式得到,2*根號(0.54*0.46/n)=0.04,整理得到甲地n=621;  2*根號(0.28*0.72/n)=0.04,整理得到乙地n=504。典型的信賴區間題目。

填充題:

A.   照著輾轉相除法的步驟得到,885-a=b,c=14b,a-c=0,此三式可得到b=59。很基本的題目,送分題。

B.   將此橢圓的焦點標為F1(太陽),F2,行星標為P點,由橢圓的定義知道PF1+PF2=2a=1000,設行星到太陽距離PF1為x,則PF2為1000-x,而F1F2=800,在三角形PF1F2中,利用餘弦定理可得x=300。挺不錯的題目,利用橢圓的定義和餘弦定理,滿喜歡的。

C.   長為3,4,5,可知三角形ABC為直角三角形。AB=4r+r*cot(37/2)度+r*cot(53/2)度,可整理為5=4r+3r+2r,所以r=5/9。 cot(37/2)度 和 cot(53/2)度 可先利用tan的和角公式得到tan(37/2)度和tan(53/2)度,再由倒數關係得到 cot(37/2)度 和 cot(53/2)度 。有點小難度的題目,但計算簡單這點挺貼心的。

D.   要湊成十點半要兩張整數牌和一張半點牌,要湊成十點有1-9,2-8,3-7,4-6,5-5五組,先討論1-9,2-8,3-7,4-6此四組,選數字(藍色)還有花色(綠色),4*4*4*3*4組,而5-5這組為1*C(4,2)*3*4組。所以機率為840/C(52,3)。機率統計的題目,要注意選數字和花色。

E.   作EF平行CD,設BF=x,DF=25-x,利用體積一定,原本體積等於傾斜後的體積,而傾斜後的體積為CDEF的圓柱體加ABEF圓柱體積之半。所以 ((5/2)^2)*π*15=  ((5/2)^2)*π*(25-x)+(1/2)* ((5/2)^2)*π*x,整理為(25-x)+(1/2)x=15,得到x=20。利用桌面和BE平行得到θ=角EBF,可知tanθ=(5/20),因此sinθ=(1/根號17)。這題還滿有趣的,但應會有不少學生會卡住。



F.   很基本的向量題。向量ED=
向量 EC+ 向量 CD=(1/2) 向量 AC+(3/4) 向量 CB = (1/2) 向量 AC+(3/4)( 向量AB-向量AC)  =(3/4)向量AB-(1/4)向量AC。和課本例題幾乎一模一樣,送分題。


G.   很基本簡單的題目。圓外的點P到圓上的最近點和最遠點,分別在直線OP和圓的交點B與A。因為最遠和最近距離為5和3,可知PB之距為3,AP之距為5,所以半徑為1。可知OC=1,OP=4,則由畢氏定理知切線長為根號15。



H.   可達對8題的期望值為8*5=40。6題是確定有兩個不正確,即三個選項在猜選,所以期望值為6*(5*(1/3)-(5/4)*(2/3)=5。剩下亂猜的期望值為6*(5*(1/5)-(5/4)*(4/5))=0。因此可知期望值為40+5+0=45。很基本的期望值問題,不錯的基本題。
 

基本應拿的題目: 2.4.7.10.A.D.F.G.H

細心認真可拿: 1.6.9.11.12.B

 
 

 
 



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