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100全國公私立第四次模擬考(銓達T5)2011.12.22

 
100全國公私立第四次模擬考(銓達T5)

趁今天學生考試剛拿到考卷,監考無聊就做一做,這份考題出得很不錯,不少題有學測風,且數據設計得都非常漂亮,可看出出題者的貼心,是T1~T5個人評價最高的考題。

選擇題:

1.   這題可用二項式定理展開,(1+10)^11=C(11,0)*1+ C(11,1)*1*10+C(11,2)*1*(10^2)+...+C(11,11)*(10^11),可知除以100的餘數為 C(11,0)*1+ C(11,1)*1*10111 11 。但因為是出11次方,且只要算個位數和十位數,所以可以直接硬算即可,也不會比較慢。學生幾乎都是跟他硬算,想到二項式定理的幾乎沒有...囧。

2.   恰有兩個數字位置不變的個數有 C(5,2)*2 組(其中 C(5,2) 為從5個數字中選2個固定,而三個數字變化不能留在原來位置,有2種排列方式),而五個數字任意排列 5 ! ,所以機率為  C(5,2)*2  /5! 。機率的題目,算普通基本。

3.   將圖形大概畫出,由題意知要求ABOCD為起來的面積,要思考到ABC三點圍起來的區塊等於CDE三點圍起來的區塊,把 ABC三點圍起來的區塊補過去,使得原本求 ABOCD為起來的面積變成求BCEDO圍起來的矩型面積,即 1*π。挺不錯的題目。


4.   和角、二倍角搭配對數的題目。將兩個分數通分,分子為sin303cos101-cos303sin101=sin202,分母為sin101cos101=(1/2)sin202,所以可得到 2=以x為底8的對數,再將對數還原回指數得 x^2=8,所以x=根號8。不錯的簡單基本題。

5.   因為沒有顯示長度,所以沒辦法用標座標的,只要了解內積的定義再利用三角函數的概念即可輕鬆得解,有些人恍神想說cos0=1一定最大,那是在兩個向量長度的乘積相同之下。向量OA和向量OB內積=向量OA長度*
向量OB長度* cos(兩向量夾角)=OG長度* 向量OB長度,利用這樣的想法可知向量OA和向量OB內積為最大。很不錯的題目,有學測風,利用定義想法即可輕鬆得解。

 

6.   C和F為雙曲線的兩焦點,由定義可知  │AC-AF │= 2a 可得到 4( (根號3)-1 ) =2a ,而貫軸長即為 2a ,所以貫軸長為 
4( (根號3)-1 ) =2.93 。恨不錯的題目,有學測風,利用定義即可得解。

7.   空間圖形的判斷。(1)(3)為平面,(2)(4)為一直線,(5)為兩平行的平面。不錯的基本題。

8.   
空間圖形的判斷。 (1)圓柱體,(4)即問一顆球和平面的交集圖形為何,利用球心和平面的距離可知交集為何,因為球心和平面的距離為33,而球的半徑為根號101,因為球心和平面的距離大於半徑,所以球和平面沒有交集,即無圖形。(5)球。 不錯的基本題和第7題型差不多。

9.   (1)因為物品相同箱子相同,所以只能分數量不同堆,(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),共4組。(2)(4,0,0)放進去不同的箱子有3!/2!=3,(3,1,0) 放進去不同的箱子有3!=6,(2,2,0) 放進去不同的箱子有3!/2!=3,(2,1,1)放進去不同的箱子有3!=6,共有3+6+3+6=15。(3)(4,0,0)分堆有C(4,0)=1,(3,1,0)有C(4,3)*C(1,1)=4,(2,2,0)有C(4,2)*C(2,2)/2!=3,(2,1,1)有C(4,2)C(2,1)C(1,1)/2!=6,共有1+4+3+6=14。(4)重覆排列,每個物品有三個箱子可選擇,3^4=81。(5)第一個方法是知道只有(2,1,1)此組,所以C(4,2)*C( 2,1)*C(1,1)*3!/2!=36,第二個方法為 3^4 - C(3,1)2^4 +C(3,2)1^4 = 36 。

10.  y=( (根號3)sinx + 3cosx ) = 2*(根號3)*sin(x+60)。(1)週期即為sin的週期為2
π。(2)振幅為 2*(根號3) 。(3)將( (98/3)π ,0)代進去函數裡看是否合方程式,因為合,所以在圖形上。 (4)求y軸的交點,即令x=0代入求y座標,可得(0,3)。 (5)如圖,此函數即為y=sinx向左平移60度,不對稱原點。


11.  信賴區間的題目。信賴區間為[0.78,0.82],可知p為0.8;因為正負誤差為0.02,又95%信心水準,所以 2S=0.02,因此S=0.01。 由公式, 0.02 = 2*根號(0.8*0.2/n),整理得n=1600,贊成為1600*0.8=1280。99課綱的一到四冊沒有信賴區間,所以學測會考信賴區建今年是最後一年,不知道會不會考...。

12.  因為f(x)為實係數,由虛根成對性質,可知f(x)=0有1-根號3,2-i 和 2+i 三根,因此f(x)=100(x^2-4x+5)(x-1+根號3)。(1) f(x)=0有1-根號3,2-i 和 2+i 三根。(2) x以0代入,可得到f(0)=100*5*( (根號3)-1)>0。(3)可解f(x)<0看看,因為(x^2-4x+5)恆正,所以可將  f(x)<0整理為  100* (x-1+根號3) <0,得到到 x<1-根號3,因此可知f(-101)<0。(4)因為f(x)為實係數,所以多項式F(x)=f(x)-100亦為實係數,因為有三個根且虛根會成對,可知必有實根。 (5) 因為f(x)為三次多項式,所以f(x^3)為九次多項式。因為F(x)=f(x^3)-100為九次的實係數多項式,所以有九個根,由虛根成對性質知必有實根。不錯的題目,歷年學測常見題型。

13.  可得此圓的圓心為(4,0,0),由圖可知AC為球半徑,所以AC=5,OC為圓半徑,所以OC=4,可知AO=3,因此球心為(4,0,3)或(4,0,-3)。所以a=3,b=0,c=正負3。還不錯的題目,不過可以更簡單點,限定球心在xy平面之上,即可放在單選考了。 

A.  將f(101)=(101)^5+3*(101)^4-9* (101)^3+6* (101)^2+14*(101)+41 除以99,因為101除以99餘2,因為餘數可做加減乘的運算,所以可得 (2)^5+3*(2)^4-9* (2)^3+6* (2)^2+14*2+41=101,再將101除以99得到合除法原理的餘數2。 有學生跟他硬拚,也是可以,但是會很辛苦,和選擇第一的計算量差很多。

B.  利用對數性質和換底公式即可整理出答案。將ab換成對數,所以(3+以2為底3的對數+ 以2為底3的對數 * 以3為底5的對數)/( 以2為底3的對數 +2* 以2為底3的對數 * 以3為底5的對數 )=( 以2為底2^3的對數+ 以2為底3 對數+ 以2為底5的對數 )/ ( 以2為底2^3的對數+ 以2為底5的對數 ) = 以2為底( (2^3)*3*5) 的對數 /  以2為底( (2^3)*5) 的對數 =  以75為底120 的對數,將此結果代回可得 以75為底x的對數 =  以75為底120 的對數 ,所以x=120。不錯的基本題。

C.  令三個小矩形的長和寬各為x和y,則面積為 3xy=8,可得 xy=(8/3) 。即問已知 xy=(8/3) ,求6x+4y的最小值,利用算幾不等式,  6x+4y 大於等於 2* 根號(6x*4y) =2*根號 (64) =16,不錯的配方法題目。

D.  因為第2項為9,第6項為729,公比為正的,可得到公比為3,首項a=3。以t為底a_1的對數+ 以t為底a_2的對數+...+ 以t為底a_12的對數= 以t為底(a_1*a_2*...*a_12)的對數=以t為底( (a^12)*(r^(1+2+...+11) ) )的對數= 以t為底( (a^12)*(r^(66))  )的對數=  以t為底( (3^12)*(3^(66))  )的對數= 以t為底( 3^78 )的對數,可知   以t為底( 3^78 )的對數= -78,得到 t=(1/3) 。挺不錯的題目,數列的基本題搭配對數的定義。

E.  因為共焦點,所以給的橢圓和欲求雙曲線的 c 相等。由橢圓的方程式知道 c^2 = 100-36=64,而我們知道雙曲線的性質 c^2 = a^2+b^2 =A+B,得到A+B=64。這題的問法使得雙曲線就算不是等軸也是一樣的答案。這題感覺出題者有稍微失誤,也許有想要考等軸雙曲線的特性,但問法使得這特性考不到,定義就直接寫出答案了。

F.   將此正方體座標化,再找出向量AM和向量FN,得到cosθ=(4/5),即可得到 sinθ=(3/5),很基本的空間向量題目。

G.  有些學生看到這敘述就嚇到了,有些就算有在看大聯盟的也算不出來,哈!畢竟算數學還是不一樣的。因為威爾森一定排第一和第六,所以威爾森不用排,且第一天和第六天也不用排,已經固定了。還剩下五天,但是只剩下四位投手,一定要有一個人投兩場,而可以投兩場的只有兩種狀況:
 第一種    1      2      3      4      5      6      7
                W      ○                              W     ○     
 投第二天的投兩次,則必要在第七場才能上場,因為要休息三天以上且第六場被威爾森佔去。因此為
       C(4,1)*3! =24  其中 C(4,1) 為四個投手選一個來投這兩次,剩下三位投手於第3,4,5場任意排列。

第二種     1      2      3      4      5      6      7
                 W             ○                      W     ○     
 投第三天的投兩次,則必要在第七場才能上場,因為要休息三天以上。因此為
       C(4,1)*3! =24  其中 C(4,1) 為四個投手選一個來投這兩次,剩下三位投手於第2,4,5場任意排列。
除了這兩種沒有其他投兩次的輪值法,因此共有 24+24=48種。

基本應該要會的: 1,2,4,5,7,8,12,A,B,E,F

細心認真可拿的:  3,6,9,13,C,D
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