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100第二次中模數學試題2011.12.19

 100第二次中模數學試題
題目可至賴老師高中數學教室觀看:  http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/main.htm 

這份考題還不錯,似乎這次的模擬考,全國、詮達、中模和北模都出得很不錯。北模還沒開始打,應該這幾天會打完,打得有夠慢的我~~~囧


選擇題:


1.   (1) 2^(3/4) (2) 2^(1/3) (3) 2^(2/3) (4) 2^(5/6) (5) 1.5 ,y=2^(x) 為遞增函數,所以(1)到(4)以2^(1/3)最小,而2^(1/2)大概為1.414比1.5小,所以2^(1/3)也比1.5小。指數的比大小,參考書都會出現。

2.   這題的數據都不會太醜,所以其實可已把這些數值都算出來,(1)(2)(4)比較好看出來,(3)和(5)還是要算一下比較保險。

3.   設P(t,0),因為BP的斜率為(-1)/(t-2),又入射角等於反射角,所以直線PD的斜率為 1/(t-2),因此可設直線PD為 y= (1/(t-2))(x-t),再利用圓心A到切線距離等於半徑,可得到 t=3/2。  還滿有趣的題目。



4.   (1)兩點距離公式。(2)即P點到(1,0,0)之距。(3)P點到xy平面之距即z座標。(4)點到平面距離公式。(5)利用參數式表示直線上的點,接著距離為垂直距離,利用內積,即可得到P在直線上的投影點,再利用兩點距離公式即可得解。

5.   單選題至少要選三題以上,又AB不能同時選之下(即不可能選五題),討論單選題選三題和選四題的情形。單選題選三題,則複選題選7題,因此為 ( C(3,3)+C(2,1)C(3,2) )* C(10,7) ,其中 C(3,3)  為選三題單選中沒有AB, C(2,1)C(3,2)為選三題中有A或B;單選題選四題,則複選題選6題,因此為 C(2,1) * C(10,6) ,其中  C(2,1)  為選4題單選,只需考慮要A或B ,因此共有840+420=1260種。 排列組合的題目,中規中矩的。

6.   對數的首數尾數搭配因倍數的概念logA = n+r ,而 log(A^(1/3))=(1/3)logA=n/3+r/3 ,因為其尾數為 r/3,可知n/3為整數,沒有小數分到r/3,所以尾數才一樣是r/3; log(A^(1/2))=(1/2)logA=n/2+r/2 ,因為其尾數不為 r/2,可知n/2不為整數,而有小數分到r/2,所以尾數才不是r/2;可推知n可被3整除不被2整除,而n為1到100的整數,因此可知n值有33(3的倍數)-16(6的倍數)=17(個)。滿有趣的題目。

7.    從a_1*a_2*...*a_7=1,可知a_4=1,依此可推出r=1/2和a_1=8。如果看不出來也可以利用a_1*a_2*...*a_7=1和a_9=1/32這兩式聯立慢慢去解出公比和首項。此數列即8,4,2,1,(1/2),(1/4),(1/8)。參考書常見的題型。

8.   參考書大部分都是在第一象限,這題放在第二象限就需要廣義角的概念。(3)OQ=-secθ。(5)OR=cscθ。

9.   這題算是把99學測考過的題目做修改出來的。根據象限,可知sinθ_1=2/5,sinθ_2=2/5,sinθ_3=-2/5 和 sinθ_4=-2/5。(1)sin30度=(1/2) > (2/5),所以30度大於θ_1。(2)看圖。(5)除非sinθ_3=-(根號2)/2,sinθ_4=-(根號2)/2。
 

10.  (1)因為任兩點的球面距離都是π,而球的半徑為3,因為 3θ=π,則θ=π/3,所以張出的圓周角為60度。(2)(3)(4)因為圓周角為60度,又OP=OQ=OR=3,所以三角形POQ、POR、QOR和PQR均為正三角形,因此四面體OPQR為正四面體。正四面體的高為 邊長*((根號6)/3)=根號6。還滿有趣的題目。

11.  題目的不等的解為1<x<2。(A)x<1或x>2  。不等式的基本題。

12.  (1)相鄰就綁起來,所以 (6!/6)*2!*2!種。(2)如下面第一個圖,千兵衛和小緣先坐好,接著阿拉雷和小卡要入坐,則有三組相對而坐的選擇,而其他人再陸續坐進來,所以 3*2!*4!種。(3)如下面第二個圖,千兵衛和小緣先入坐,相鄰的綁在一起,則阿拉雷和小卡有四組選擇,所以 4*2!*4!種。(4)四人綁在一起,阿拉蕾和小卡可以交換,千兵衛和小緣可以交換,所以(5!5)*2!*2!種。(5)相鄰綁在一起,不相鄰的最後插入,所以有 (5!/5)*2!*5*4種。算是把參考書的題型匯集起來。


填充題:

A.   利用餘數來推測。365/7...1 和 366/7...2,如圖。這題目就比較沒新意。

B.  有個實根為-2,此根在複數平面上表(-2,0),此根和圓點和另兩虛根形成一正方形,有如圖幾種可能,但符合為實係數方程式只有藍色的情形,使p,q,r為實數,可利用根與係數關係檢查。挺不錯的題目,我喜歡~~~有學測風。



C.  座標化各點,令A為原點(0,0),由給的條件內切圓半徑為1,AD=3和BD=4,可得B(7,0),D(3,0),I(3,1)。C點座標比較麻煩,可利用求出直線AC和直線BC的方程式解聯立即可以解出C點;因為tan(角IAD)=(1/3),而AI為角平分線,利用atn的和角公式,可得到 tan(角CAD)=tan(2*角IAD)=(3/4),因此直線AC的斜率為(3/4)。以此方式可得tan(角CBD)=-(15/8)。可得到直線AC的方程式為 y=(3/4)x 和  直線BC的方程式為 y=(-15/8)(x-7),解聯立得到C點為(32/11,24/11)。 用兩點距離公式,得到線段AC長度為 (40/11)和線段BC長度為(51/11), 再用餘弦定理得到cos(角ACB)=-(36/85),最後用平方關係得到sin (角ACB) =(77/85)。感覺這樣算好麻煩,應該有更快的方法,歡迎大家提出討論。

D.  P,Q,R共線,可利用斜率推出R(-5,5)。因為都走三分鐘,所以可知三角形PQN和三角形RKL全等,可推知K,L,Q共線,即可堆出K點座標。有點不太曉得考這題的目的?是我沒意會到嗎?=__=...

E.  要找平面方程式需要一點和法向量,法向量可取向量SN=(1,1,1),而平面上一點可找C點。因為線段SN為直徑,所以可得半徑ON=OB=OA=2*根號3,可推得CO=CN=根號3,因此C為O和N的中點,可知C(1,1,-2),所以平面為x+y+z=0。滿有趣的題目,要知道北緯30度是怎樣才會作答。

F.  因為AQ為角平分線,所以AB:AC=2:1,利用分點公式可得 向量AQ=(1/3)向量AB+(2/3)向量AC。因為AB:AC=2:1 且三角形ABP面積為三角形ABC面積的5/3倍,可假設三角形AQC面積為x,則 三角形AQB面積為2x,而 三角形BQP=3x,所以AQ:PQ=2:3,因此向量AQ=(2/5)向量AP,將此式代入 向量AQ=(1/3)向量AB+(2/3)向量AC ,整理即可得解。中規中矩的題目。


G.  先求號碼一樣的機率為 ( C(2,2)+ C(3,2)+ C(4,2)+ C(5,2)+   C(6,2) )/C(21,2) = 35/210,則  號碼不一樣的機率為175/210,可得 120* ( 175/210 )-k=1,整理得k=101。 中規中矩的期望值題目。

H.  光學性質的題目。由光學性質可知線段PQ為三角形PF_1F_2的角平分線,因此可知PF_1:PF_2=QF_1:QF_2 ,由橢圓的方程式可得到橢圓的焦點到中心之距 c=4,因此F_1=(-4,0),F_2=(4,0),又P為(4,6),可得到 PF_1和PF_2的長度,即可得到  QF_1:QF_2  =10:6=5:3。





基本應得的: 1,2,4,7,11,A,D,G

細心認真可得: 3,4,8,9,12,E,F

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